题目:已知抛物线y=ax方+bx+c的定点为 （二分之一,负四分之二十五）它与X轴的两个交点间的距离为5 求此抛物线的解析式.

给定抛物线 (y = ax^2 + bx + c) 与 (x) 轴有两个交点，且这两个交点之间的距离为5。这意味着抛物线与 (x) 轴的两个交点可以表示为 (x_1) 和 (x_1 + 5)。

由于抛物线的对称性，这两个交点关于顶点对称，因此顶点的 (x) 坐标为 (x_1 + \frac{5}{2} = x_1 + 2.5)。

抛物线的顶点形式是 (y = a(x - h)^2 + k)，其中 ((h, k)) 是顶点的坐标。由于我们知道定点 ((\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})) 在抛物线上，我们可以利用这一点来确定 (h) 和 (k) 的值。但首先，让我们找到 (x_1) 的值。

由于顶点是 (x_1) 和 (x_1 + 5) 的中点，我们可以写出：

[ h = \frac{x_1 + (x_1 + 5)}{2} = x_1 + 2.5 ]

由于定点的 (x) 坐标是 (\frac{1}{2})，我们可以得出：

[ x_1 + 2.5 = \frac{1}{2} ] [ x_1 = \frac{1}{2} - 2.5 ] [ x_1 = -2 ]

所以一个 (x) 轴交点是 (-2)，另一个交点是 (-2 + 5 = 3)。这意味着抛物线通过点 ((-2, 0)) 和 ((3, 0))。

现在，我们可以使用这两个点来建立两个方程，并解出 (a)、(b) 和 (c)。由于点 ((\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})) 在抛物线上，我们也可以使用它来建立第三个方程。

首先，我们使用 (x) 轴上的两个点来建立方程：

1. (0 = a(-2)^2 + b(-2) + c)
2. (0 = a(3)^2 + b(3) + c)

简化后得到：

1. (4a - 2b + c = 0)
2. (9a + 3b + c = 0)

我们可以通过减去这两个方程来消除 (c)：

[ (9a + 3b + c) - (4a - 2b + c) = 0 ] [ 5a + 5b = 0 ] [ a + b = 0 ] [ b = -a ]

现在，我们可以将 (b = -a) 代入其中一个原始方程来解出 (a) 和 (c)。让我们使用第一个方程：

[ 4a - 2(-a) + c = 0 ] [ 4a + 2a + c = 0 ] \